Un proyecto paralelo de un estudiante de posgrado demuestra una suposición para un número primo

como átomos Desde la aritmética, los números primos siempre han ocupado un lugar especial en los derechos numéricos. Jared Ducker LichtmanUn estudiante de posgrado de 26 años de la Universidad de Oxford ha resuelto una conocida conjetura al establecer otro aspecto de lo que hace que los números primos sean especiales y, en cierto modo, incluso óptimos. "Esto te da más contexto para ver cómo los números primos son únicos y cómo se relacionan con el universo más grande de conjuntos de números", dijo.

La suposición trata con conjuntos primitivos, secuencias en las que ningún número divide a otro. Dado que cualquier número primo solo se puede dividir por 1 y por sí mismo, el conjunto de todos los números primos es un ejemplo de conjunto primitivo. Lo mismo es el conjunto de todos los números que tienen exactamente dos o tres o 100 factores primos.

Los conjuntos primitivos fueron introducidos por el matemático Paul Erdo en la década de 1930. En ese momento, eran simplemente una herramienta que le facilitaba probar algo sobre cierta clase de números (llamados números perfectos) con raíces en la antigua Grecia. Pero rápidamente se convirtieron en un objeto de interés por derecho propio, a los que Erdogan volverá una y otra vez a lo largo de su carrera.

Esto se debe a que, aunque su definición es bastante clara, los conjuntos primitivos resultaron ser bestias realmente extrañas. Esta rareza se puede capturar simplemente preguntando qué tan grande puede llegar a ser un conjunto primitivo. Piense en el conjunto de todos los enteros hasta 1000. Todos los números del 501 al 1000, la mitad del conjunto, forman un conjunto primitivo, ya que ningún número es divisible por otro. Así, los conjuntos primitivos pueden contener gran parte de derechos numéricos. Pero otros conjuntos primitivos, como la secuencia de todos los números primos, son increíblemente escasos. "Esto te dice que los conjuntos primitivos son realmente una clase muy amplia a la que es difícil llegar directamente", dijo Lichtman.

Para capturar las interesantes propiedades de los conjuntos, los matemáticos estudian diferentes nociones de tamaño. Por ejemplo, en lugar de contar cuántos números hay en un conjunto, pueden hacer lo siguiente: Para cada número norte en el conjunto incluirlo en la expresión 1/(nortesoy un diario norte), luego suma todos los resultados. El tamaño del conjunto {2, 3, 55}, por ejemplo, se convierte en 1 / (2 log 2) + 1 / (3 log 3) + 1 / (55 log 55).

ErdÅ encontró que para cualquier conjunto primitivo, incluidos los infinitos, esta suma, "la suma de ErdÅ", es siempre finita. No importa cómo se vea un conjunto primitivo, la suma de ErdÅ siempre será menor o igual que Y así, aunque esta suma "parece, al menos a primera vista, completamente extraña y oscura", dijo Lichtman, está en un sentido "controla parte del caos de los conjuntos primitivos", lo que lo convierte en la vara de medir adecuada para usar.

Con este palo en la mano, la siguiente pregunta natural que debemos hacernos es cuál puede ser la cantidad máxima posible de Erdo. Erdo sugirió que será el de los números primos, que es aproximadamente 1,64. A través de esta lente, los números primos son una especie de extremo.

Jared Ducker Lichtman llamó al problema su "compañero permanente durante los últimos cuatro años".

Foto: Ruoyi Wang / Revista Quanta

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