Un equipo padre-hijo resuelve un problema de geometría con pliegues infinitos

Después de su éxito en 2015, los investigadores se propusieron utilizar su técnica de aplanamiento para manejar todos los poliedros finitos. Este cambio ha hecho que el problema sea mucho más complicado. Esto se debe a que en los poliedros no ortogonales, las caras pueden tener la forma de triángulos o trapezoides, y la misma estrategia de plegado que funciona para un refrigerador no funcionará para un prisma piramidal.

En particular, para poliedros no ortogonales, cada número finito de pliegues siempre produce algunos pliegues que ocurren en el mismo vértice.

"Simplemente vino a nuestro conocimiento entonces [folding] gadgets ", dijo Eric Damen.

Consideraron varias formas de eludir este problema. Su investigación los llevó a una técnica que se ilustra al tratar de aplanar un objeto que es particularmente convexo: una red cúbica, que es una especie de red infinita en tres dimensiones. En cada vértice de la red cúbica, muchas caras se encuentran y comparten un borde, lo que hace que lograr el aplanamiento en cada uno de estos lugares sea una tarea enorme.

"En realidad, no pensarías que podrías", dijo Ku.

Pero considerar cómo nivelar este tipo de encrucijada notoriamente desafiante llevó a los investigadores a la técnica que finalmente generó la evidencia. Primero, estaban buscando un lugar "en cualquier lugar lejos de la parte superior" que pudiera aplanarse, dijo Ku. Luego encontraron otro lugar que se puede aplanar y continúan repitiendo el proceso, acercándose a los picos problemáticos y colocando más de la forma plana a medida que se mueven.

Si se detuvieran en algún momento, tendrían más trabajo por hacer, pero podrían probar que si el procedimiento se prolongaba para siempre, podrían evitar este problema.

"A punto de hacer cortes cada vez más pequeños, hasta que alcances uno de estos picos problemáticos, podré nivelar cada uno", dijo Ku. En este contexto, las rebanadas no son cortes reales, sino conceptuales, utilizados para la presentación, rompiendo la forma en pedazos más pequeños y aplanándolos en secciones, dijo Eric Damen. "Luego, 'pegamos' conceptualmente estas soluciones para obtener una solución en la superficie original".

Los investigadores aplicaron el mismo enfoque a todos los poliedros no ortogonales. Al pasar de rebanadas "conceptuales" finitas a infinitas, han creado un procedimiento que, llevado a su extremo matemático, produce el objeto aplanado que están buscando. El resultado resuelve el problema de una forma que sorprende a otros investigadores que se han ocupado del problema.

"Simplemente ni siquiera se me ocurrió usar un número infinito de pliegues", dijo. José O'Rourkeun informático y matemático del Smith College que trabajó en el problema. "Cambiaron el criterio de lo que es una decisión de una manera muy inteligente".

Para los matemáticos, la nueva prueba plantea tantas preguntas como respuestas. Por un lado, todavía les gustaría saber si es posible aplanar poliedros con solo un número limitado de pliegues. Eric Damen cree que sí, pero su optimismo se basa en presentimientos.

"Siempre pensé que debería ser posible", dijo.

El resultado es una curiosidad interesante, pero puede haber implicaciones más amplias para otros problemas geométricos. Por ejemplo, Eric Damin está interesado en intentar aplicar el método de plegado infinito de su equipo a formas más abstractas. O'Rourke sugirió recientemente que el equipo investigara si podrían usarlo para alinear objetos de cuatro dimensiones en tres dimensiones. Esta es una idea que puede parecer exagerada incluso hace unos años, pero el plegado sin fin ya ha llevado a un resultado sorprendente. Tal vez pueda generar otro.

"El mismo tipo de enfoque puede funcionar", dijo Eric Damen. "Esta es definitivamente una dirección que debe explorarse".

una historia original reimpreso con permiso de Revista Cuanta, edición editorial independiente de Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al abarcar los desarrollos científicos y las tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.

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