¿Qué tan lejos tendrías que ir bajo tierra para perder 20 libras?

¿Qué pasa si me muevo? fuera de esta esfera? Resulta que el campo gravitatorio debido a una distribución esférica produce el mismo campo gravitatorio que si toda la masa estuviera concentrada en un punto del centro de la esfera. Esto es bastante bueno ya que nos permite calcular fácilmente el campo gravitatorio de la Tierra utilizando solo la distancia desde el centro del objeto en lugar de preocuparnos por su tamaño real y masa total.

Ahora tenemos una cosa más que considerar: ¿Cómo cambia el campo gravitacional (y por lo tanto tu peso) a medida que te acercas al centro de la Tierra? Necesitaremos esta información para determinar qué tan lejos tendría que hacer un túnel una persona para perder 20 libras.

Comencemos con la Tierra como una esfera con radio (R) y masa (m). En esta primera aproximación, supondré que la densidad de la Tierra es constante, de modo que la masa por unidad de volumen de las cosas en la superficie (como las rocas) es la misma masa por volumen que las cosas en el centro (como el magma). Eso no es realmente cierto, pero está bien para este ejemplo.

Imagina que cavamos un hoyo y en él desciende un hombre a una distancia (r) del centro de la Tierra. La única masa que importa para el campo gravitacional (y el peso) es esta esfera de radio (r). Pero recuerde, el campo gravitatorio depende tanto de la masa del objeto como de la distancia desde el centro de la esfera.Podemos encontrar la masa de esta parte interior de la Tierra diciendo que la relación entre su masa y la masa de todo el La Tierra es igual a la proporción de sus volúmenes ya que asumimos la misma densidad. Con esto y un poco de matemáticas, obtenemos la siguiente expresión:

Esto dice que el campo gravitacional dentro de la Tierra es proporcional a la distancia de una persona desde el centro. Si quisiera reducir su peso en 20 libras (digamos 20 de 180 libras), tendría que reducir el campo gravitatorio en un factor de 20/180, o 11,1 por ciento. Esto significa que tendrían que moverse una distancia desde el centro de la Tierra de 0.889 × R, que es un agujero que es solo 0.111 veces el radio de la Tierra. Sencillo, ¿verdad?

Bueno, la Tierra tiene un radio de 6,38 millones de metros, unas 4000 millas, lo que significa que el agujero debe tener una profundidad de 440 millas. De hecho, va aún más profundo que eso porque densidad de la tierra no es permanente. Varía desde unos 3 gramos por centímetro cúbico de superficie hasta unos 13 g/cm³ en la base. Eso significa que tendrás que subir de nivel. cerca hacia el centro para perder 20 libras. Buena suerte con eso. Si realmente quieres perder peso, es mejor simplemente inscribirte en un gimnasio.