Qué es, método, ejercicio resuelto

Método de mínimos cuadrados

¿Cuál es el método de mínimos cuadrados?

Métodos Método de mínimos cuadrados Ésta pertence a las apps más esenciales de la aproximación de funciones. La iniciativa es encontrar una curva donde la función se asemeje mucho más a los datos dado un conjunto de pares ordenados. La función puede ser una línea recta, una curva cuadrática, una curva cúbica, etc.

La iniciativa de este procedimiento es reducir la suma de los cuadrados de la diferencia en la ordenada (componente Y) entre los puntos generados por la función seleccionada y los puntos que forman parte al grupo de datos.

Procedimiento de mínimos cuadrados

Antes de especificar el procedimiento, primero debemos entender qué se comprende por "???? el procedimiento es preferible" ???? Supongamos que estamos buscando una línea y = b + mx que represente mejor un grupo de n puntos, a saber, (x1, y1), (x2, y2) â ?? ?, (xn, yn).

Método de mínimos cuadrados

Como se muestra en la figura anterior, si las variables xey están conectadas por la línea y = b + mx, entonces para x = x1 el valor correspondiente de yb + mx1 es. Sin embargo, este valor es diferente del valor real de y, esto es, y = y1.

Recuerde que en el plano, la distancia entre 2 puntos viene dada por la próxima fórmula:

Método de mínimos cuadrados

Teniendo esto en cuenta, semeja lógico usar la selección de filas como método para saber de qué manera elegir la fila y = b + mx que mucho más se aproxima a los datos dados entre ámbas filas cuadradas y minimizadas. Puntos y líneas.

Dado que la distancia entre los puntos (x1, y1) y (x1, b + mx1) es y1- (b + mx1), nuestro problema se simplifica para encontrar los números myb que minimizan la suma de los siguientes puntos:

Método de mínimos cuadrados

Una línea que cumple esta condición tiene por nombre aproximación de línea de mínimos cuadrados en el punto (x1, y1), (x2, y2), â ?? ?, (xn, yn) â? ?. ??.

Cuando se resuelve el inconveniente, solo hay un método de aproximación por mínimos cuadrados para escoger. Si los puntos (x1, y1), (x2, y2), â ?? ?, (xn, yn) están todos en la línea y = mx + b, consideramos que y es colineal:

Método de mínimos cuadrados

En esta expresión:

Método de mínimos cuadrados

Al final, si los puntos no son colineales, entonces y-Au = 0 y el problema se puede transformar para encontrar el vector u que minimiza la norma euclidiana.

Método de mínimos cuadrados

Localizar el vector de minimización u no es tan bien difícil como podría pensar. Ya que A es una matriz nx2 yu es 2 × ?? 1, entendemos que el vector Au es un vector en R. esNo y forma parte a la imagen de A, que es un subespacio de R. esNo El tamaño no es más de 2.

Suponemos n = 3 para mostrar el próximo trámite. En el momento en que n = 3, la imagen de A es un plano o una línea que pasa por el origen.

Método de mínimos cuadrados

Sea v el vector minimizado. En la figura observamos que y-Au se minimiza en el momento en que es ortogonal a la imagen de A. En otras expresiones, si v es un vector minimizado, o sea lo que ocurre:

Método de mínimos cuadrados

Entonces podemos expresar el contenido anterior de la siguiente forma:

Método de mínimos cuadrados

Esto solo sucede en las siguientes ocasiones:

Método de mínimos cuadrados

Para por último resolver para v, disponemos:

Método de mínimos cuadrados

Esto es posible por el hecho de que AtoneladaSiempre y cuando los n puntos de datos no sean colineales, A es reversible.

Si no tenemos ganas hallar una recta, sino más bien una parábola (cuya expresión tiene la manera y = a + bx + cx2) Esta es la mejor aproximación de n puntos de datos; el procedimiento se describe a continuación.

Si hay n puntos de datos en esta parábola, poseemos:

Método de mínimos cuadrados

después de eso:

Método de mínimos cuadrados

También podemos escribir y = Au. Si todos los puntos no están en la parábola, tenemos un vector u cuyo y-Au no es igual a cero, y nuestro problema es nuevamente: Â Conseguir un vector u en R3 con su norma || y-Au | | .

Repitiendo el desarrollo previo, tenemos la posibilidad de acabar que el vector que procuramos es:

Método de mínimos cuadrados

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Halle la línea que mejor coincida con los puntos (1,4), (-2,5), (3, -1) y (4,1).

solución

nosotros debemos:

Método de mínimos cuadrados

después de eso:

Método de mínimos cuadrados

Método de mínimos cuadrados

Deducimos que la recta mucho más adecuada para estos puntos viene dada por:

Método de mínimos cuadrados

ejercicio 2

Por poner un ejemplo, suponga que un objeto cae desde una altura de 200 m. Si se cae, lleve a cabo lo siguiente:

Método de mínimos cuadrados

Entendemos que después del tiempo t la altura del objeto viene dada por:

Método de mínimos cuadrados

Si deseamos obtener el valor de g, podemos encontrar una parábola más próxima a los cinco puntos dados en la tabla, con lo que obtenemos el coeficiente de t2 Si la medición es precisa, es una aproximación razonable de (-1/2) g.

nosotros debemos:

Método de mínimos cuadrados

entonces:

Método de mínimos cuadrados

Método de mínimos cuadrados

Por lo tanto, los puntos de datos se ajustan mediante la próxima expresión cuadrática:

Método de mínimos cuadrados

Por lo tanto, tienes que:

Método de mínimos cuadrados

Esto está bastante cerca del valor preciso, o sea, g = 9,81 m / s2Para obtener una aproximación mucho más precisa de g, es necesario comenzar con observaciones mucho más precisas.

¿Para qué se utilizan los mínimos cuadrados?

Con los problemas que brotan en las ciencias naturales o sociales, es muy conveniente redactar la relación entre distintas variables a través de unas escasas expresiones matemáticas.

Por poner un ejemplo, tenemos la posibilidad de relacionar el costo (C), los capital (I) y las ganancias (U) con una fórmula simple en economía:

Método de mínimos cuadrados

En física, tenemos la posibilidad de relacionar la aceleración causada por la gravedad, el tiempo de caída del objeto y la altura del objeto:

Método de mínimos cuadrados

La expresión previo sOh Es la altura inicial del objeto, vOh Esta es su agilidad inicial.

No obstante, hallar una fórmula de este género no es una labor fácil. En la mayoría de los casos, un especialista en servicios procesa enormes proporciones de datos y se repiten varios ensayos (para comprobar si el resultado logrado es incesante) para saber la relación entre los distintos datos.

La forma habitual de realizar esto es representar los datos logrados en el plano como puntos y conseguir la función continua más próxima a esos puntos.

¿Una forma de conseguir la próxima función que ???? Los datos proporcionados usan el procedimiento de mínimos cuadrados.

Además, merced a este procedimiento, como hemos visto en el ejercicio, tenemos la posibilidad de obtener valores aproximados muy próximos a las permanentes físicas.

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