Números de Fibonacci que se esconden en espacios extraños

McDuff y Schlenk estaban tratando de averiguar cuándo podrían encajar un elipsoide simpléctico, un punto alargado, en una esfera. Este tipo de problema, conocido como problema de incrustación, es bastante fácil en la geometría euclidiana, donde las formas no se doblan. También es fácil en otros subcampos de la geometría, donde las formas se pueden doblar tanto como se quiera, siempre que su volumen no cambia

La geometría simpléctica es más complicada. Aquí la respuesta depende de la "excentricidad" del elipsoide, un número que indica qué tan alargado está. Una forma larga y delgada con una gran excentricidad se puede plegar fácilmente en una forma más compacta, como una serpiente enroscada.Cuando la excentricidad es baja, las cosas no son tan simples.

McDuff y Schlenk de 2012 papel calculó el radio de la bola más pequeña que cabía en diferentes elipsoides y su solución se asemejaba a una escalera infinita basada en los números de Fibonacci, una serie de números donde el siguiente número es siempre la suma de los dos anteriores.

Después de que McDuff y Schlenk revelaran sus resultados, los matemáticos se preguntaron: ¿Qué pasa si intentas incrustar tu elipsoide en algo que no sea una esfera, como un cubo de cuatro dimensiones? ¿Aparecerán más escaleras interminables?

Una sorpresa fractal

Los resultados llegaron cuando los investigadores descubrieron algunas escaleras interminables aquí, algunas más allá. Luego, en 2019, la Asociación de Mujeres en Matemáticas organizó una semana de duración taller en geometría simpléctica En el evento Holm y su socio Ana Rita Pires formó un grupo de trabajo que incluía a Macduff y morgan ruedaun recién graduado de doctorado de la Universidad de California, Berkeley, se propusieron incrustar elipsoides en una forma que tiene un número infinito de encarnaciones, lo que finalmente les permitió producir un número infinito de escaleras.

Dusa McDuff y sus colegas han dibujado un zoológico en constante expansión de escaleras interminables.Cortesía de Barnard College

Para visualizar las formas que el grupo está estudiando, recuerde que las formas simplécticas representan un sistema de objetos en movimiento. Debido a que el estado físico de un objeto utiliza dos cantidades, posición y velocidad, las formas simplécticas siempre se describen mediante un número par de variables. En otras palabras, dado que una forma bidimensional representa solo un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria fija, las formas tetradimensionales o más son las más intrigantes para los matemáticos.

Pero las formas de cuatro dimensiones son imposibles de visualizar, lo que limita severamente la caja de herramientas de los matemáticos.Como remedio parcial, los investigadores a veces pueden dibujar imágenes bidimensionales que capturan al menos algo de información sobre la forma.De acuerdo con las reglas para crear estas imágenes 2D , la bola de cuatro dimensiones se convierte en un triángulo rectangular.

Las formas analizadas por el grupo de Holm y Pires se denominan superficies de Hirzebruch. Cada superficie de Hirzebruch se obtiene cortando la esquina superior de este triángulo rectángulo. número, bmide cuánto cortas. Cuando b es 0, no has cortado nada; cuando es 1, has borrado casi todo el triángulo.

Al principio, parecía poco probable que los esfuerzos del grupo dieran frutos. "Pasamos una semana trabajando en ello y no encontramos nada”, dijo Weiler, ahora un postdoctorado en Cornell. A principios de 2020, todavía no habían creado los recuerdos de McDuff. uno de Las sugerencias de Holm para el título del artículo serían: "Sin suerte para encontrar escaleras".

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