Los matemáticos van más allá de la teoría geométrica del movimiento

"[Floer] la teoría de la homología depende solo de la topología de su variedad. [This] es la intuición increíble de Floer”, dijo Agustín Moreno del Instituto de Investigaciones Avanzadas.

División por cero

La teoría de Floor demostró ser extremadamente útil en muchas áreas de geometría y topología, incluyendo simetría del espejo y el estudio de los nodos.

"Esta es la herramienta central en el tema", dijo Manolescu.

Pero la teoría de Floer no resuelve completamente la hipótesis de Arnold, ya que el método de Floer funciona en un solo tipo de diversidad. Durante las próximas dos décadas, los geómetras simplécticos se ocuparon de grandes esfuerzos de la comunidad para superar este obstáculo. Al final, el trabajo condujo a una prueba de la suposición de Arnold, en la que la homología se calcula utilizando números racionales. Pero esto no permitió la suposición de Arnold cuando los agujeros se cuentan usando otros sistemas numéricos, como los números cíclicos.

La razón por la que el trabajo no se extendió a los sistemas numéricos cíclicos fue que la prueba consistía en dividir el número de simetrías de un objeto en particular. Esto siempre es posible con números racionales. Pero con números cíclicos la división es más pretenciosa. Si el sistema numérico retrocede después de cinco, contando 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, entonces los números 5 y 10 son equivalentes a cero (esto es similar a la forma 13: 00 es lo mismo que 13:00.) Como resultado, dividir 5 en esta configuración es lo mismo que dividir 0, algo prohibido en matemáticas. Estaba claro que alguien tendría que desarrollar nuevas herramientas para solucionar este problema.

"Si alguien me pregunta cuáles son los aspectos técnicos que impiden que la teoría de Floor evolucione, lo primero que me viene a la mente es el hecho de que necesitamos introducir estos denominadores", dijo Abuzaid.

Para extender la teoría de Floer y probar la hipótesis de Arnold con números cíclicos, Abuzaid y Bloomberg tuvieron que mirar más allá de la homología.

Sube a la torre del topólogo

Los matemáticos suelen pensar que la homología es el resultado de aplicar una receta específica a una forma. En el siglo XX, los topólogos comenzaron a considerar la homología en sus propios términos, independientemente del proceso utilizado para crearla.

En la década de 1980, Andreas Floer desarrolló una forma radicalmente nueva de contar huecos en formas topológicas.

"No pensemos en la receta. Pensemos en lo que sale de la receta. ¿Qué estructura, qué propiedades tenía este grupo homólogo?", dijo Abuzaid.

Los topólogos han buscado otras teorías que cumplan con las mismas propiedades fundamentales que la homología. Se las conoció como teorías generalizadas de la homología. Con la homología en su núcleo, los topólogos han construido una torre de teorías generalizadas de homología cada vez más complejas, todas las cuales pueden usarse para clasificar espacios.

La homología de piso refleja la teoría de la planta baja de homología. Pero los geómetras simplécticos se han preguntado durante mucho tiempo si es posible desarrollar versiones de las teorías topológicas de Floer más arriba en la torre: teorías que vinculan la homología generalizada con características específicas del espacio en un entorno de dimensión infinita, tal como lo hizo la teoría original de Floer.

Floer nunca tuvo la oportunidad de intentar hacer el trabajo él mismo y murió en 1991 a la edad de 34 años. Pero los matemáticos continúan buscando formas de expandir sus ideas.

Análisis comparativo de una nueva teoría.

Ahora, después de casi cinco años de trabajo, Abouzaid y Blumberg han hecho realidad esta visión. Su nuevo documento desarrolla una versión Floer de Morava k- una teoría que luego usan para probar la hipótesis de Arnold de los sistemas numéricos cíclicos.

"Hay una sensación de que esto termina un círculo para nosotros que se remonta al trabajo original de Flore", dijo Keating.

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