La geometría 'desagradable' rompe la hipótesis de mosaico de décadas de antigüedad

Uno de Los problemas más antiguos y sencillos de la geometría han pillado a los matemáticos con la guardia baja, y no por primera vez.

Desde la antigüedad, los artistas y geómetras se han preguntado cómo las formas pueden alinear un plano completo sin espacios ni superposiciones. Aún así, "no se sabía mucho hasta hace relativamente poco tiempo", dijo. alex yosevichmatemático de la Universidad de Rochester.

Los mosaicos más obvios se repiten: es fácil cubrir un piso con copias de cuadrados, triángulos o hexágonos. En la década de 1960, los matemáticos descubrieron extraños conjuntos de mosaicos que podían cubrir completamente un plano, pero solo en formas que nunca se repiten.

"Quieres entender la estructura de tales mosaicos", dijo. raquel greenfieldmatemático del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey. "¿Qué tan locos pueden volverse?"

Bastante loco, resulta.

El primer patrón no repetitivo o aperiódico de este tipo se basó en un conjunto de 20.426 mosaicos diferentes. Los matemáticos querían saber si podían reducir este número. A mediados de la década de 1970, Roger Penrose (quien continuaría ganó el Premio Nobel de Física 2020 para trabajar en agujeros negros) demostró que un conjunto simple de solo dos fichas llamadas "cometas" y "dardos" era suficiente.

No es difícil encontrar patrones que no se repitan. Muchas fichas repetitivas o periódicas se pueden cambiar para formar otras no repetitivas. Considere, digamos, una cuadrícula infinita de cuadrados alineados como un tablero de ajedrez. Si cambia cada fila para que se compense en una cantidad diferente a la que está arriba, nunca podrá encontrar un área que se pueda cortar y pegar como un sello para recrear el arreglo completo.

El verdadero truco es encontrar conjuntos de mosaicos, como los de Penrose, que pueden cubrir todo el plano, pero solo de manera no repetitiva.

Ilustración: Merrill Sherman/Revista Quanta

Los dos mosaicos de Penrose plantearon la pregunta: ¿podría haber un solo mosaico hábilmente diseñado que cumpliera con los requisitos?

Sorprendentemente, la respuesta resulta ser sí: si puede mover, rotar y reflejar el mosaico, y si el mosaico está roto, significa que tiene espacios. Estos huecos se llenan con otras copias de la tesela adecuadamente giradas y reflejadas, cubriendo finalmente todo el plano bidimensional. Pero si no se le permite rotar esta forma, es imposible colocar mosaicos en el plano sin dejar espacios.

En efecto, Hace unos pocos añosel matemático Siddhartha Bhattacharya demostró que, no importa cuán complejo o sutil sea el diseño de mosaico que se le ocurra, si solo puede usar cambios o traslaciones de un solo mosaico, entonces es imposible diseñar un mosaico que pueda cubrir todo el plano periódicamente pero no periódicamente .

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