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Funciones decrecientes: cómo admitir, ejemplos, ejercicios.

Una suerte de Función decreciente f es aquel cuyo valor reduce conforme incrementa el valor de x. Quiere decir que en un cierto intervalo 2 valores x. debe ser tomado presente1 Y x2Poder x1 2, Entonces f (x1)> f (x2).

Un ejemplo de una función siempre decreciente es f (x) = -x3, Y su gráfico se expone en la siguiente figura:

Figura 1. La función que siempre y en todo momento disminuye en todo el dominio es f (x) = -x ^ 3. Fuente: F. Zapata en Geogebra.

Aunque algunas funcionalidades de este tipo se identifican por una tendencia a la baja en su rango, no todas las funciones se comportan de esta forma. Ciertas funciones incrementan, y hay funcionalidades que incrementan y disminuyen en determinados intervalos del rango. El estudio de los intervalos de desarrollo y disminución lleva por nombre monótono Una función.

También, considere el aumento o la disminución de una función en algún punto del dominio. Pero cualquier función que decrezca en un cierto intervalo asimismo decrecerá en cualquier punto que le pertenezca.

¿Cómo reconoces la función decreciente?

El gráfico de la función exhibe de manera intuitiva si reduce. Si la función â ???? cuando el desplazamiento hacia arriba de x se regresa más pequeño, quiere decir que disminuye.

Si hay una alternancia de intervalos decrecientes y crecientes, ¿es esto lo más frecuente, ya que estos intervalos se tienen la posibilidad de mostrar precisamente observando el accionar de la función en toda el área, en tanto que va a haber un intervalo creciente? ? ? ¿Y otros entre ellos? descuidado â ????.

Si el gráfico de la función no está libre, se puede usar un análisis de la primera derivada para determinar si está reduciendo en un punto o en un intervalo.

Criterios de primera derivación

Vea el accionar de la función descendente en la Figura 2. El segmento de línea rosa y las coordenadas son [a, f(a)] sí [a+h, f(a+h)] Tienen pendiente negativa.

Figura 2. La pendiente de la tangente a la gráfica f (x) es negativa en x = a, con lo que la función disminuye en este punto. Fuente: F. Zapata.

Las siguientes condiciones se aplican a esta función:

f (a + h) ???? f (a) <0 ??? f (a + h)

Por consiguiente, podemos suponer que la función x = uno.

En este momento calculamos la primera derivada de la función f (x) en x = a, que es por definición la pendiente de la tangente a la curva en x = a, dada por:

Esta restricción indica que el valor de h puede hacerse tan pequeño como sea necesario y que FA), Puede usarse para determinar si la función disminuye en un punto dado, siempre que haya una derivada en ese punto.

Preciso f´ (a) <0, Podemos decir que la función es decreciente y viceversa cuando f´ (a)> 0, Entonces la función incrementa en este punto.

Teoremas de función decreciente y creciente

Antes de eso, el comportamiento de las funciones se mencionó en un instante. El próximo teorema ahora nos permite entender el intervalo en el que la función disminuye, aumenta o se vuelve incesante:

Sea f una función diferenciable en el intervalo (a, b). Es cierto:

-Si para todo x perteneciente a (a, b), f´ (x) <0, entonces f (x) Disminuye En).

-Si, por el contrario, f´ (x)> 0 para todo x perteneciente a (a, b), entonces la llamamos función f (x) Crecimiento En).

-Finalmente, si para todo x correspondiente al intervalo (a, b), f´ (x) = 0, entonces f (x) Es constante En este intervalo.

demostración

Pongamos que para cada valor de x en el intervalo (a, b) tenemos f ‘(x) <0, y tenemos x1 Y x2 Pertenecen a dicho intervalo y condición x12.

El teorema de la media dice que existe un número real c entre x1 Y x2, Fabricación:

Debido a x12, ??? x es positivo. Ya que f´ (c) es negativo, ?? también negativo. y asi f (x1) más que eso f (x2) Y la función se reduce efectivamente en cualquier punto del intervalo (a, b).

Pasos para ver si la función disminuye

Para conseguir el intervalo de reducción y crecimiento de una función aplicando el teorema anterior, haga lo siguiente:

-Halle la primera derivada de la función, ajústela a cero y resuelva la ecuación final. También encuentre el punto en el que la derivada no existe.

Todos estos puntos se los conoce como punto crítico Y debemos localizarlos porque la derivada en ellos tiene la posibilidad de cambiar de signo, lo que indica que la función va de creciente a decreciente y al reves.

-La región servible se distribuye en intervalos determinados por puntos en los que la primera derivada desaparece o no existe.

-Finalmente, examine el signo de la derivada en todos y cada punto asociado con cada intervalo conseguido en el paso anterior.

Ejemplos de funciones decrecientes

Todas y cada una estas funcionalidades no reducen al mismo ritmo y ciertas funciones reducen más rápido que otras. Las siguientes funcionalidades suceden con frecuencia y reducen en la práctica:

Funcion exponencial

Una función de la forma f (x) = aX, A está entre 0 y 1 sin excluirlo, reduce rápidamente en su rango.

Función 1 / x

Empleando un programa de dibujo online como Geogebra, edifique una gráfica de la función f (x) = 1 / x y asegúrese de que reduzca en su rango.

Figura 3. La función f (x) = 1 / x reduce. Fuente: F. Zapata vía Geogebra.

Funciones socias

La gráfica de una función de la manera y = mx + by m <0 es una barra diagonal negativa, o sea, una función decreciente.

Ejercicio resuelto

Halle el rango decreciente de la función (si corresponde):

f (x) = xCuarto ¿Una especie de? ? ? ? 6 ocasiones2 ¿Una especie de? ? ? ? Cuarto

solución

El paso inicial es conseguir Fax):

f´ (x) = 4x3 ¿Una suerte de? ? ? ? 12 veces

La primera derivada de f (x) es una función continua, o sea, no posee discontinuidades, pero se desvanece en:

4 ocasiones3 ¿Una suerte de? ? ? ? 12x = 0 = 4x (x2-3) = 0

La solución de esta ecuación es: x1 = 0, x2 = ???? a ???? 3 y x3 = ???? 3. Estos son puntos críticos que dividen el intervalo de f (x) en intervalos: (-â ????, – â ???? 3); (- ???? 3,0); (0, ????? 3); (â ???? 3, â ???? +).

Entonces calcule la primera derivada con cualquier valor de x perteneciente a cada intervalo. Se han seleccionado estos valores:

Para (-â ????, -â ???? 3)

f´ (-2) = 4 (-2)3 ¿Una especie de? ? ? ? 12x (-2) = -32 + 24 = -8

Para (- ???? 3.0)

f´ (-1) = 4 (-1)3 ¿Una especie de? ? ? ? 12x (-1) = -4 + 12 = 8

Para (0, ?????? 3)

f ‘(1) = 4 (1)3 ¿Una especie de? ? ? ? 12x (1) = 4-12 = -8

Para (â ???? 3, â ???? +)

f´ (2) = 4 (2)3 ¿Una suerte de? ? ? ? 12x (2) = 32-24 = 8

Ya que existen varios intervalos, es preferible llevar a cabo una tabla para ordenar los desenlaces. La flecha hacia arriba señala que la función está aumentando y la flecha hacia abajo señala que la función está reduciendo:

Deducimos que la función disminuye en los intervalos (- ????, – ???? 3) y (0, ???? 3) y incrementa en los intervalos restantes. Esto se puede contrastar de manera fácil dibujando el gráfico de la función original en Geogebra.

referencia

  1. Ayres, F. 2000. Calculo. 5 años. McGraw Hill.
  2. Leithold, L. 1992. Calculo con Geometría Analítica. Hara, SA
  3. Purcell, EJ, Varberg, D. y Rigdon, SE (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
  4. Agonía. Función, incremento, disminución y constante. Logrado de: matemovil.com
  5. Stewart, J. 2006. Cálculo: Las matemáticas del cálculo. quinto. Ejecución. Aprendiendo de Shengzhi.

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