El "problema más antiguo" de las matemáticas recibe una nueva respuesta

Los teóricos de los números son siempre en busca de una estructura oculta. Y cuando se enfrentan a un modelo numérico que parece inevitable, prueban su poder al esforzarse, y a menudo fallan, en encontrar situaciones en las que un modelo no puede emerger.

Uno de resultados recientes demostrar la resiliencia de tales modelos a través de flor de thomas de la Universidad de Oxford, responde una pregunta con raíces que se remontan al antiguo Egipto.

"Este puede ser el problema más antiguo", dijo. carlos pomeranos de la Universidad de Dartmouth.

La pregunta incluye fracciones que tienen 1 en su numerador, como 1â „2, 1â„ 7 o 1â „122. Estas "fracciones simples" eran especialmente importantes para los antiguos egipcios porque eran los únicos tipos de fracciones en su sistema numérico a partir de fracciones simples (1â „2 + 1â„ 4).

El interés moderno en tales sumas aumentó en la década de 1970, cuando Paul Erdo y Ronald Graham preguntaron cuán difícil podría ser diseñar conjuntos de números enteros que no contengan un subconjunto cuyos números recíprocos se suman a 1. Por ejemplo, el conjunto {2, 3, 6, 9, 13} no pasa esta prueba: contiene el subconjunto {2, 3, 6} cuyos números recíprocos son las fracciones unitarias 1â „2, 1â„ 3 y 1â "6" que suman 1.

Específicamente, ErdÅ's y Graham sugirieron que cualquier conjunto que tome muestras de una parte positiva suficientemente grande de números enteros (tal vez 20 por ciento, 1 por ciento o 0.001 por ciento) debe contener un subconjunto cuyos números recíprocos se suman a 1. Si el conjunto original satisface esta simple condición de muestrear suficientes enteros (conocida como "densidad positiva"), incluso si sus miembros se eligen deliberadamente para dificultar la búsqueda de este subconjunto, el subconjunto aún debe existir.

"Simplemente pensé que era una pregunta imposible que ninguna persona en su sano juicio podría hacer", dijo. andres granville de la Universidad de Montreal. "No vi ninguna herramienta obvia para atacarlo".

La participación de Bloom con la pregunta de Erda y Graham surgió de la tarea: en septiembre pasado se le pidió que presentara un artículo de hace 20 años a un grupo de lectura en Oxford.

Este libro, de un matemático llamado Ernie Kruthabía resuelto la llamada versión coloreada del problema de Erdo-Gram.Allí los números enteros se ordenan aleatoriamente en diferentes cubos, marcados con colores: Unos van en el cubo azul, otros en el rojo, etc. y Graham predice que no importa cuántos cubos diferentes se usen en este tipo, al menos un cubo debe contener un subconjunto de números enteros cuyos números recíprocos sean iguales a 1.

Croot introdujo nuevos y poderosos métodos de análisis armónico, una rama de las matemáticas estrechamente relacionada con el cálculo, para confirmar la predicción de ErdÅ's-Graham. publicado en Anales de Matemáticasla mejor revista en el campo.

"Es un placer leer el argumento de Croot", dijo. Jorge Petridis de la Universidad de Georgia. “Requiere creatividad, ingenio y mucha fuerza técnica”.

Sin embargo, a pesar de lo impresionante que fue el artículo de Krut, no pudo igualar la versión de densidad de la conjetura de Erdo-Gram. cubos, pero no en el que tiene densidad.

El pergamino matemático, conocido como Papiro Rind, que data de alrededor de 1650 a. C., muestra cómo los antiguos egipcios representaban los números racionales como la suma de fracciones individuales.Foto: Alami

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