Álgebra de bloques: elementos, ejemplos, ejercicios resueltos

Bloque de álgebra

Tiene relación a una sucesión de operaciones realizadas por un bloque. Estos y muchos otros elementos se utilizan para representar esquemáticamente un sistema y visualizar de manera fácil su respuesta a una entrada cierta.

En general, un sistema contiene varios componentes eléctricos, electrónicos y electromecánicos, cada componente tiene su función y situación en el sistema y métodos socios, que se agrupan en bloques funcionales.

Ilustración 1.

En la figura previo hay un sistema muy simple que se compone de una señal de entrada X (s) que ingresa al módulo mediante una función de transferencia G (s), la modifica y genera una señal de salida Y (s).

Las flechas que entran y salen de cada bloque tienen la posibilidad de señalar de manera fácil la señal y su ruta a través del sistema. Por lo general, el flujo de la señal se dirige de izquierda a derecha.

La ventaja de este diagrama esquemático es que proporciona ayudas visuales para comprender el sistema, si bien no es una representación física del sistema. De todos modos, el diagrama de bloques no es único porque desde diversos puntos de vista aun se tienen la posibilidad de dibujar varias imágenes del mismo sistema.

Asimismo puede ocurrir que un mismo diagrama sirva a múltiples sistemas que no están necesariamente interconectados, siempre que describa adecuadamente su accionar. Hay muchos sistemas distintas que reaccionan del mismo modo de muchas formas, como los circuitos inductor-condensador (LC) y los sistemas de masa-resorte.

¿Qué es un diagrama funcional?

Estos sistemas son generalmente mucho más complejos que el sistema de la Figura 1, pero el álgebra de bloques proporciona una secuencia de reglas sencillos para manejar el patrón y reducirlo a su versión más fácil.

Como se explicó al principio, el diagrama emplea bloques, flechas y círculos para establecer la relación entre cada ingrediente del sistema y el flujo de señal que lo atraviesa.

El álgebra de bloques le permite comparar dos o más señales sumando, quitando, multiplicando y examinando la contribución de cada ingrediente al sistema.

Por esta razón, todo el sistema se puede facilitar en solo una señal de entrada, una función de transferencia que detalla totalmente la acción del sistema y la salida correspondiente.

Elementos del diagrama




Los elementos del diagrama servible son los siguientes:

Señal

La señal tiene muchas características, por servirnos de un ejemplo tiende a ser corriente o voltaje, pero también puede ser luz, sonido, etcétera. Lo importante es que contiene información sobre un sistema particularmente.

En el momento en que la señal es función de una variable, se representa con letras mayúsculas. en segundo Transformada de Laplace: X (s) (ver Figura 1) o en minúsculas si es función del tiempo tonelada, como x

En el diagrama de bloques, la señal de entrada está representada por una flecha que apunta al cuadro, y la señal de salida está representada por Y (s) o y

Las señales de entrada y salida son visibles y la dirección del fluído de información está determinada por la dirección de la flecha. El álgebra de cada variable es la misma.

Habitación

Los bloques están representados por cuadrados o rectángulos (ver Figura 1) que se tienen la posibilidad de emplear para realizar cálculos o para implementar funcionalidades de transferencia, y normalmente se representan con una G mayúscula. Esta función es un método de modelo matemático que describe la situación de la señal de entrada proporcionada por el sistema.

La función de transferencia se puede expresar en el tiempo. tonelada Como G

En el momento en que la señal de entrada X (s) llega al bloque, se multiplica por la función de transferencia y se convierte en la señal de salida Y (s). Matemáticamente, se expresa de la próxima forma:

Y (s) = X (s) .G (s)

De manera semejante, la función de transferencia es la relación entre la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada, asumiendo que las condiciones iniciales del sistema están vacías:

G (s) = Y (s) / X (s)

Punto de suma

La suma o punto de la suma está representado por un círculo con una cruz en el interior. Se utiliza para combinar 2 o más señales a través de sumas y restas. Al final de la flecha del símbolo símbolo, en el momento en que se añade el símbolo, ponga de manera directa un símbolo + o un símbolo ????. Cuando se quita.

La siguiente figura muestra un caso de muestra del principio de desempeño de un sumador: Tenemos una señal de entrada X, y las señales A y B se suman a esta señal para obtener una señal de salida Y que es algebraicamente semejante a:

Y = X + A + B

  
Figura 2. Un caso de muestra de sumador. Fuente: F. Zapata.

Punto de conexión

Asimismo es llamado Punto de conexiónLa señal del bloque se distribuye entonces a otros bloques o sumadores. Está representado por un punto en la flecha de señal y otra flecha redirige la señal a otra parte.

 

  
Figura 3. Punto de conexión. Fuente: F. Zapata.

Ejemplos de reglas de álgebra de bloques

Como se mencionó previamente, nuestra iniciativa es utilizar un diagrama de bloques para expresar el sistema y simplificarlo para hallar una función de transferencia que lo describa. Aquí están las reglas del álgebra de bloques para gráficas simplificadas:

Bloque de cascada

Cuando una señal cruza el bloque G continuamente1, G2, G3a ?? ?, se disminuye a un solo bloque cuya función de transferencia es el producto de G. es1, G2, G3??? |

En el siguiente ejemplo, la señal X (s) entra en el primer bloque y sale:

1(s) = X (s) .G1(s)

  
Figura 4. 2 módulos en cascada. Fuente: F. Zapata.

Torre Y1(s) Bloque G. Entrar2(s), la salida es:

2(s) = X (s) .G1(s). gramo2(s)

Este desarrollo se aplica a n bloques en cascada:

No (s) = X (s). gramo1(s) .G2(su ?? | ..GRAMONo(s)

Bloque paralelo

En la imagen de la izquierda, la señal X (s) se ramifica en el bloque G1(s) y G2(s):

  
Figura 5. Dos bloques paralelamente. Fuente: F. Zapata.

Las respectivas señales de salida son:

1(s) = X (s) .G1(s)

2(s) = X (s) .G2(s)

Agregue estas señales para conseguir:

C (s) = Y1(s) + O2(s) = X (s).[G1(s) + G2(s)]

Como se expone a la derecha.

Mover una sumadora a la izquierda

El sumador se puede mover al costado izquierdo del bloque de la siguiente forma:

  
Figura 6. Mueva el sumador al lado izquierdo del módulo. Fuente: F. Zapata.

La señal de salida de la izquierda es:

C (s) = R (s). G (s) ??? X (s)

Se ajusta a la derecha:

C (s) =[R(s) – X(s)/G(s)].G (s)

Mover una sumadora a la derecha

El sumador se puede desplazar al lado derecho del bloque de la siguiente manera:

  
Figura 7. Mueva el sumador a la derecha del bloque. Fuente: F. Zapata.

A la izquierda tienes: [R(s) – X(s)].G (s) = C (s)

En el lado derecho:

R (s). G (s) X (s) G (s) = C (s)

Desplazar un punto de ramificación de izquierda a derecha

Para desplazar el punto de ramificación de izquierda a derecha del bloque, es suficiente notar que la salida C (s) a la derecha es el producto X (s) .G (s). Como desea transformar a X (s), multiplique por el inverso de G (s).

  
Figura 8. Mover un punto de ramificación de izquierda a derecha. Fuente: F. Zapata.

Desplazar un punto de ramificación de derecha a izquierda

O la rama de la puntada se puede desplazar de derecha a izquierda como se muestra a continuación:

  
Figura 9. Mover un punto rama de derecha a izquierda. Fuente: F. Zapata.

Como C (s) debe conseguirse a la salida del ramal, es suficiente con insertar un nuevo bloque G (s) en el punto de ramal a la izquierda del bloque original.

Sistema de retroalimentación

En el siguiente sistema, la señal de salida C (s) se devuelve a través del sumador izquierdo:

  
Figura 10. Sistema con retroalimentación. Fuente: F. Zapata.

C (s) = Y también (s) .G (s)

Pero:

E (s) = R (s) C (s)

Si pones esta expresión en la ecuación anterior, siempre y en todo momento es: C (s) = [R(s) –C(s)].G (s), a partir de los cuales se tienen la posibilidad de resolver C (s):

C (s) + C (s) .G (s) = R (s) .G (s) ???? CS). [1 + G(s)] = R (s) .G (s)

C (s) = R (s) .G (s) / [1 + G(s)]

o entonces:

C (s) / R (s) = G (s) / [1 + G(s)]

En forma gráfica, tras la simplificación, todavía es:

  
Figura 11. Simplificación del sistema con retroalimentación. Fuente: F. Zapata.

Sistema con retroalimentación y sensores

El transductor consta de la función de transferencia H (s):

  
Figura 12. Sistema con retroalimentación y sensores. Fuente: F. Zapata.

En la figura de la derecha, la señal de salida C (s) es:

C (s) = E (s). G (s) con Y también (s) = R (s) - C (s). H (s)

entonces:

C (s) = [R(s) – C(s). H(s)]. G (s)

CS) [1+ H(s).G(s)] = R (s) .G (s)

Por consiguiente, C (s) se puede solucionar de la siguiente forma:

C (s) Â = G (s). R (s) / [1+ H(s).G(s)]

La función de transferencia es:

G (s) / [1+ H(s).G(s)]

Como se muestra en la figura simplificada de la derecha.

Ejercicios resueltos




Ejercicio 1

Busque la próxima función de transferencia del sistema:

 

  
Figura 13. Sistema en cascada de dos partes. Fuente: F. Zapata.

Solución

Procesa dos bloques en cascada, con lo que la función de transferencia es el producto de la función G1 yG2.

Debe:

gramo1 = 2 / s.

gramo2 = 2 / (s + 1)

Por tanto, la función de transferencia deseada es:

G (s) = 4 / [s (s+1)]

Ejercicio 2

Achicar los próximos sistemas:

  
Figura 14. Simplificación del sistema. Fuente: F. Zapata.

Solución

Primero disminuya la cascada G2, G3 MaderaCuarto Separado del paralelo G5 MaderaSexto:

  
Figura 15. Reducción de la cascada central. Fuente: F. Zapata.

Entonces está el sumador a la izquierda del bloque G2a ???? gramo3 ¿Una suerte de? ? ? ? gramoCuarto desplazarse a la derecha:

 

  
Figura 16. Transmisión del sumador. Fuente: F. Zapata.

El buen sumador se reduce a uno y el bloque en cascada:

  
Figura 17. Reducir la novedosa cascada y el sumador a la derecha. Fuente: F. Zapata.

La salida del sistema es en última instancia:

Y (s) = X (s) â ???? GRAMO1¿Una especie de? ? ? ? gramo2a ???? gramo3 ¿Una especie de? ? ? ? gramoCuarto + C (s) â ????[G5 – G6 ⋅ G2 ⋅G3 ⋅ G4]

Referencia




  1. Alaydi, J. Diagrama de bloques del sistema de control. Obtenido de: site.iugaza.edu.ps.
  2. Bolton, W. 2006. Ingeniería de control. en segundo. Ejecución. Alpha Omega.
  3. Cwalinsky, J. Introducción al álgebra de bloques de sistema. Conseguido de: cedengineering.com.
  4. Comuníquese con mamá y papá. Diagrama. Conseguido de: dademuch.com.
  5. Ogata, K. 2010. Tecnología de control moderna. quinto. Ejecución. Pearson.

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